Скачать: 

 

 

 

Курсовая работа «Анализ переходных процессов в электрических цепях»

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

1. Анализ существующих методов расчёта переходных процессов в электрических цепях
2. Расчёт параметров переходных процессов в электрической цепи с двумя реактивными элементами
2.1.Определение начальных и конечных условий для всех токов и напряжений в цепи
2.2.Определение характеристик переходных процессов классическим методом
2.3.Построение графиков переходного процесса
2.4.Обобщенные характеристики цепи
Заключение.
Список использованных источников
Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

ВВЕДЕНИЕ

Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) – переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.

К.М. Поливанов писал: «Переходные процессы возникают при любых изменениях режима электрической цепи: при подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов (короткое замыкание, обрыв провода и т.д.)». Изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутацией. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, до коммутационного режима, к энергетическому состоянию, соответствующему после коммутационному режиму.

Лосев А.К. опытным путем доказал, что переходные процессы обычно протекают очень быстро: длительность их составляет десятые, сотые, а иногда и миллиардные доли секунды. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Но, изучение переходных процессов весьма важно, так как позволяет установить деформацию сигнала, выявить превышение напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки,

увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса, а также определять продолжительность переходного процесса. С другой стороны, работа многих электротехнических устройств, основана на переходных процессах.

Например, в электрических нагревательных печах качество выпускаемого материала зависит от характера протекания переходного процесса. Чрезмерно быстрое нагревание может стать причиной брака, а чрезмерно медленное отрицательно оказывается на качестве материала и приводит к снижению производительности.

Для курсовой работы по теме «Анализ переходных процессов в электрических цепях» была поставлена следующая цель: Провести анализ переходных процессов в электрических цепях, закрепить и расширить теоретические знания и применить их при расчете переходных процессов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

1.1. Возникновение переходных процессов

В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникать, если в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходный процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи. При этом часть энергии безвозвратно преобразуется в другие виды энергий (например, в тепловую на активном сопротивлении).

После окончания переходного процесса устанавливается новый установившийся режим, который определяется только внешними источниками энергии. При отключении внешних источников энергии переходный процесс может возникать за счет энергии электромагнитного поля, накопленной до начала переходного режима в индуктивных и емкостных элементах цепи.

Изменения энергии магнитного и электрического полей не могут происходить мгновенно, и, следовательно, не могут мгновенно протекать процессы в момент коммутации. В самом деле, скачкообразное (мгновенное) изменение энергии в индуктивном и емкостном элементе приводит к необходимости иметь бесконечно большие мощности , что практически невозможно, ибо в реальных электрических цепях бесконечно большой мощности не существует.

Таким образом, переходные процессы не могут протекать мгновенно,

так как невозможно в принципе мгновенно изменять энергию, накопленную в электромагнитном поле цепи. Теоретически переходные процессы заканчиваются за время t→∞. Практически же переходные процессы являются быстропротекающими, и их длительность обычно составляет доли секунды. Так как энергия магнитного и электрического полейописывается выражениями ,,то ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно. На этом основаны законы коммутации.

1.2. Законы коммутации

Первый закон коммутации состоит в том, что ток в ветви с индуктивным элементом в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, какое он имел непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения он начинает плавно изменяться. Сказанное обычно записывают в виде , считая, что коммутация происходит мгновенно в момент t=0.

Второй закон коммутации состоит в том, что напряжение на емкостном элементе в начальный момент после коммутации имеет то же значение, какое оно имело непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения оно начинает плавно изменяться: .

Следовательно, наличие ветви, содержащей индуктивность, в цепи, включаемой под напряжение, равносильно разрыву цепи в этом месте в момент коммутации, так как . Наличие в цепи, включаемой под напряжение, ветви, содержащей разряженный конденсатор, равносильно короткому замыканию в этом месте в момент коммутации, так как .

 

Однако в электрической цепи возможны скачки напряжений на индуктивностях и токов на емкостях.

В электрических цепях с резистивными элементами энергия электромагнитного поля не запасается, вследствие чего в них переходные процессы не возникают, т.е. в таких цепях стационарные режимы устанавливаются мгновенно, скачком.

В действительности любой элемент цепи обладает каким-то сопротивлением r, индуктивностью L и емкостью С, т.е. в реальных электротехнических устройствах существуют тепловые потери, обусловленные прохождением тока и наличием сопротивления r, а также магнитные и электрические поля.

2. Определение начальных и конечных условий в цепях

2.1 Начальные условия переходного процесса

Когда начальные условия нулевые, напряжение на емкости до начала коммутации и после нее равно нулю, а ток в индуктивности до и после коммутации также равен нулю:

; .

То есть в цепи будут протекать переходные процессы с нулевыми начальными условиями.

В момент включения постоянного напряжения источника Е (при ) напряжение и ток измениться не могут и равны нулю. Остальные величины (, , , ) могут измениться скачком. Следовательно, емкость в эквивалентной схеме для можно заменить коротким замыканием (перемычкой), а индуктивность – разрывом.

Когда начальные условия ненулевые, напряжение на емкости до начала коммутации и после не равно нулю, а ток в индуктивности до и после

коммутации также не равен нулю:; .

Поэтому до начала коммутации (при ) токи и напряжения в ветвях не будут равны нулю.

Так как напряжение на емкости и ток в индуктивности изменяться скачком не могут, то емкость в эквивалентной схеме для можно заменить источником напряжения , а индуктивность источником тока

Эквивалентные схемы замещения реактивных элементов при воздействии постоянного напряжения для нулевых и ненулевых начальных условий (ГНУ) и конечных условий (КУ) приведены в ПРИЛОЖЕНИИ 1.

Анализ эквивалентной схемы необходимо проводить, используя законы Ома и Кирхгофа.

2.2Конечные условия переходного процесса

При составлении эквивалентной схемы для стационарного режима, когда переходной процесс уже закончился (для ) исходят из того, что в цепи установился режим постоянного тока. При этом ток через емкость и напряжение на индуктивности . Следовательно, при емкость можно заменить разрывом, а индуктивность коротким замыканием.

 

3 Классический метод анализа переходных процессов

 

Классический метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять напряжения и токи в цепи, рассматриваемые как неизвестные функции времени, с последующим нахождением ее общего решения и на последнем этапе определением таких значений постоянных общего решения, которые удовлетворяют начальным условиям каждой конкретной задачи.

Для расчета переходных процессов классическим методом необходимо

составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения.

Далее составляется общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, которое записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих, которая описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока:

(1.1)

Здесь Х_прописывает установившиеся (принужденные процессы), определяемые внешним воздействием. По существу, это значение конечных условий при , найденных в задании 1: .

и – постоянные интегрирования ( из начальных условий, при ).

и – корни характеристического уравнения, полученного из однородного дифференциального уравнения для : .

Но характеристическое уравнение можно получить, не составляя дифференциального уравнения цепи. Комбинированный метод в том и заключается, что характеристическое уравнение, из которого находятся корни и , получается из уравнения , где – входное операторное сопротивление цепи.

4 Операторный метод анализа переходных процессов

Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод

анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнением, что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым.

В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:

(1.2)

где f(t) – однозначная функция времени, называемая оригиналом; F(p) – функция комплексной переменной р, называемая лапласовым изображением.

При расчете переходного процесса операторным методом следует представить исходные данные о параметрах всех элементов схемы цепи в операторной форме. Это означает, что ЭДС источников напряжения и токи источников тока, заданные мгновенными значениями u(t) и i(t), следует представить соответствующими изображениями E(p), U(p) и I(p), а пассивные элементы представить схемами замещения. Для полученной схемы замещения в операторной форме составить и решить полную систему независимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа в операторной форме, т. е. найти изображение F(p) искомой величины.

Наиболее часто изображение имеет вид рациональной дроби:

; (1.3)

где N(p) и M(p) – многочлены в числителе и знаменателе изображения F(p). Для изображения обратным преобразованием нужно найти оригинал f(t). Переход от изображения к оригиналу проводят, используя таблицы преобразований временных функций по Лапласу, либо метод неопределенных коэффициентов, либо теорему разложения.

 

5 Расчет и построение графиков переходного процесса

В приведенной схеме (рисунок 2.1) определим начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи с ненулевыми начальными условиями. Результаты вычислений сведем в таблицу 2.1.

E=6 B, R1=2 Ом, R2=1 Ом, L=1/8 Гн, C=1/4 Ф.

 

 

Рисунок 2.1Схема индивидуального варианта

1)Начальные условия.

До начала коммутации (при ) в цепи через индуктивность протекает ток . Определим этот ток из эквивалентной схемы для . Так как процесс в цепи был установившемся, то для постоянного тока индуктивность заменим перемычкой (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 Эквивалентная схема цепи для времени .

 

Ток равен (по закону Ома):

.

Напряжение на индуктивности , а напряжение на сопротивлении R₁ и R2 (так как ) равно:

;

.

Контроль вычислений.

– второй закон Кирхгофа выполняется.

Ток , напряжения, равны нулю, так как цепь C до начала коммутации отключена.

После коммутации () ток в индуктивности скачком измениться не может, поэтому:

.

Индуктивность в эквивалентной схеме для момента времени заменим источником тока .

На емкости напряжение до начала коммутации равно нулю, поэтому:

.

Тогда в эквивалентной схеме емкость можно заменить перемычкой (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 Эквивалентная схема цепи для времени .

 

Для рассматриваемой схемы ГНУ:

;

.

Определим остальные токи и напряжения.

Напряжения u_R1и u_R2определяется как

Напряжение на индуктивности

 

Контроль вычислений.

1-й и 2-й законы Кирхгофа выполняются.

 

2)Конечные условия (при ).

После окончания переходного процесса все токи и напряжения в схеме на рисунке 2.1 будут постоянными. Так как , , то емкость в эквивалентной схеме заменяется разрывом, а индуктивность – перемычкой.

Рисунок 2.4. Эквивалентная схема цепи для времени .

 

Так как имеется разрыв в цепи, то токи и напряжения вычисляются по формулам:

Контроль вычислений.

– 1-й закон Кирхгофа выполняется.

3)Данные расчетов сведем в таблицу 2.1.

 

Таблица 2.1. Результаты вычислений

 

С учетом НУ и КУ можно построить качественные графики (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 Качественные графики переходного процесса.

 

2.2. Определение характеристик переходных процессов классическим методом

В приведенной схеме (рисунок 2.1) определим классическим методом напряжения и токи переходного процесса. Построим графики переходных процессов для ненулевых начальных условий.

 

1)Решение дифференциального уравнения для напряжения на емкости :

Принужденная составляющая напряжения на емкости ,

 

тогда:

2)Определение корней и .

Для определения корней характеристического уравнения и составим эквивалентную операторную схему цепи для момента времени после коммутации (t=0+) при отключенном источнике напряжения (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 Эквивалентная операторная схема цепи для момента времени после коммутации (t=0+) при отключенном источнике напряжения.

 

Операторные сопротивления емкости и индуктивности равны

; .

Тогда входное операторное сопротивление

.

После приведения к общему знаменателю и преобразования получаем:

.

Условие выполняется, если числитель равен нулю:

.

Решение этого уравнения дает значения корней:

; .

 

Подставим значения и в уравнение для :

3)Определение произвольных постоянных и .

Используем значение самой функции и ее производной при , т.е. учтем начальные условия. Учитывая, что :

,

откуда получаем первое уравнение для нахождения произвольных постоянных:

.

Для получения второго уравнения найдем (при ) значение тока, причем известно, что , тогда

откуда получаем второе уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Совместное решение двух уравнений

дает значения произвольных постоянных:

После подстановки произвольных постоянных в выражение для

получаем:

 

 

 

Контроль вычислений:

при , ;

при , .

Это соответствует данным таблицы 2.1.

 

4)Расчет остальных токов и напряжений.

а) Ток :

.

Контроль: ; .

б) Напряжение :

.

Контроль: ; .

в) Ток :

.

Контроль: ;

г) Ток :

.

Контроль: ;

д) Напряжение :

.

Контроль: ; .

е) Напряжение :

.

Контроль: ; .

 

 

 

5)Результаты вычислений:

;

;

;

;

;

;

 

Построение графиков переходного процесса

По начальным и конечным величинам исследуемого тока (или напряжения) с учетом экстремальных значений можно качественно построить график переходного процесса.

Время окончания переходного процесса определяется из соотношениядля экспоненты с меньшей скоростью убывания (при этом значение экспоненты уменьшается примерно до 0,05¸0,02 от максимального значения).

Полученное решение определяется суммой двух убывающих экспонент, причем с разной скоростью убывания, так как по абсолютной величине корни отличаются друг от друга. Для построения кривых необходимо определить экстремум и точку перегиба исследуемых кривых и значения функций для этих значений времени. Определяются эти точки из приравнивания нуля первой и второй производных исследуемой функции.

Рассмотрим расчет и построение графиков переходного процесса для цепи (рисунок 2.1)

Вычисленные формулы для определения токов и напряжений содержат по две затухающих экспоненты с разными показателями. Экспонента с большим коэффициентом убывает быстрее.

1)Построение графика для тока :

Экспонента убывает быстрее, чем экспонента , поэтому на рисунке 2.7 двумя пунктирными вертикальными линиями отмечаются моменты равенства нулю этих экспонент.

Строится пунктиром постоянная величина и прибавляется к ней положительная экспонента . Далее строится экспонента и выполняется сложение кривых. Результат сложения показан на рисунке 2.7 сплошной кривой.

Аналогично строятся кривые для других токов и напряжений (рисунки 2.7 и 2.8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.7 Графики токов и напряжения .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.8 Графики тока и напряжений .

2)Определение экстремумов и точки перегиба.

Точки перегиба и экстремумы рассчитываются для графиков сложных форм в целях их уточнения.

Наиболее сложную форму имеют график . Для него рассчитаем экстремум и точку перегиба.

Построим график тока .

Продифференцируем выражение :

.

Найдем значение производной при :

Производная для положительна, это означает, что кривая должна идти вверх под некоторым углом.

Приравняем производную к нулю:

;

;

;

.

Это уравнение имеет решение, так как при положительном хвсегда должно быть меньше 1. Для решения этого уравнения его можно воспользоваться таблицей (Приложение 2). По таблице представим 0,9047 в виде . Выбираем ближайшее число . Тогда из уравнения определим момент времени , которому соответствует максимальное значение .

Для вычисления этого значения подставим в уравнение для :

Определим вторую производную и приравняв ее к нулю найдем точку перегиба кривой :

;

;

;

<1.

По таблице представим 0,8165 в виде . Выбираем ближайшее число , откуда получим, что в точке перегиба значение :

Расчет значений выполним для 10 точек от 0 до 1с через . Этот расчет представлен в таблице 2.2.

Таблица 2.2 Значения для 10 точек от 0до 1с через

 

Для вычисления значений в таблице 2.2 использовалась программа MATLAB 7.3.0 (Приложение 3).

Кроме данных, приведенных в таблице, учтем точки максимума и

перегиба:

;

Выберем масштаб по оси тока: 0,5A в 10мм, а по оси времени - 0,1с в 10мм.

Полученный график переходного процесса для тока приведен на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9 График переходного процесса для тока

 

6. Обобщенные характеристики цепи

Обобщенные характеристики цепи рассчитываются с учетом
взаимосвязи их между собой.

а) Зная вычисленное значение изображения сигнала на выходе Uвых(р) (напряжение на правом элементе схемы) и изображение входного сигнала Е (р) можно определить коэффициент передачи операторной форме:

(2.1)

б) Комплексный коэффициент передачи определяется из формулы

(2.2)

Отсюда можно найти К(w), то есть АЧХ , и j(w), то есть ФЧХ.

в) Изображение и оригинал переходной характеристики h(t) рассчитывают так: (2.3)

Для проверки этого результата можно его сравнить с .

г) Изображение и оригинал импульсной характеристики определяются в виде:

(2.4)

или из выражения:

(2.5)

Найдем значения , , а так же , и сопоставим между собой.

Обобщенные характеристики К(р), К(w), h(t), g(t) определяются для схем только с нулевыми начальными условиями. Поэтому нужно изобразить схему для момента после коммутации (t=0+) при отключенном источнике ЭДС (рисунок 2.10).

 

Рисунок 2.10 Эквивалентная схема цепи для момента после коммутации (t=0+) при отключенном источнике ЭДС.

 

1) Из этой схемы найдем коэффициент передачи в операторной форме:.

Входным напряжением будем считать напряжение между входными клеммами 1-1, а выходным - напряжение на емкости между клеммами 2-2.

Для схемы такой структуры (рисунок 2.10) коэффициент передачи можно найти по типовой формуле . Он будет равен:

Для заданной схемы:

Студенту / Электротехника