Курсовой проект Прохождение сигналов через линейные электрические цепи # Теория электрических сигналов и цепей
Скачать:
Курсовой проект
Прохождение сигналов через линейные электрические цепи #
Теория электрических сигналов и цепей
(дисциплина)
Содержание
Задание на курсовую работу………………………………………………………….1
Введение……………………………………………………………………………….3
1.Переходные процессы в линейных электрических цепях
1.1 Переходные характеристики ЛЭЦ с сосредоточенными элементами…..3
1.2 Законы коммутации…………………………………………………………5
1.3 Основы классического метода анализа переходных процессов………….6
1.4 Свободная и вынужденная составляющая переходных колебаний ( на
примере цепи 1-го порядка)…………………………………………..………7
1.5 Постоянная времени цепи и ее физический смысл……………………...10
2. Расчет прохождения сигнала через линейные электрические цепи……….….11
2.1Разложение импульсных колебаний на гармонические
составляющие………………………………………………………………….11
2.2 Расчет спектра выходного сигнала линейной электрической
цепи………………………………………………………………………..……15
2.2.1 Расчет прохождения сигнала через ЛЭЦ первого порядка………...…15
2.2.2. Расчет прохождения сигнала через идеальный источник напряжения, управляемый напряжением…………………………………………………..18
2.2.3 Расчет прохождения сигнала через ЛЭЦ второго порядка………..…20
Выводы……………………………………………………………………………….25
Список литературы…………………………………………………………………..25
Приложение 1. Графики сигналов воздействия и отклика ЛЭЦ …………………26
Введение
Задача анализа прохождения сигнала состоит в качественной и количественной оценках свойств электрической цепи и является одной из основных задач радиотехники, связи, измерительной техники.
При изучении электрических цепей рассматриваются установившиеся, стационарные значения токов и напряжений. Однако, наряду со стационарными режимами, большое значение имеют переходные процессы, происходящие в цепях в результате коммутации.
Переходные процессы обычно являются быстропротекающими процессами; длительность их составляет часто десятые, сотые, иногда даже миллионные доли секунды; сравнительно редко происходят переходные процессы, длительность которых составляет секунды и десятки секунд. Тем не менее, изучение переходных процессов весьма важно, так как оно позволяет выявить возможные превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, позволяет выяснить возможные увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса.
Изучение переходных процессов позволяет решать и такие вопросы, как вопрос о том, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители, фильтры и другие радиотехнические устройства.
1. Переходные процессы в линейных электрических цепях
1.1.Переходные характеристики ЛЭЦ
с сосредоточенными элементами.
Отношение реакции электрической цепи на ступенчатое воздействие к величине воздействия при нулевых начальных условиях называют переходной характеристикой цепи.
Переходные характеристики электрических цепей относятся к числу нормированных временных характеристик устойчивых линейных электрических цепей. При этом с неограниченным ростом времени значения переходной характеристики асимптотически приближаются к некоторой конечной величине, характеризующей относительную величину реакции электрической цепи в режиме постоянного тока. В частных случаях значение этого предела может быть равно нулю.
В зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) различают четыре вида переходных характеристик (рис. 1.1):
переходная характеристика по напряжению
|
(1.1) |
|
, |
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
t |
|
u |
|
t |
|
u |
|
t |
|
h |
|
uu |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
= |
переходная характеристика по току
|
, |
переходное сопротивление
|
; |
переходная проводимость
|
. |
Рис. 1.1
Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой неединичный скачок x(t)=x1(t)=X*1(t-t0), а реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях y(t)=y1(t).
Тогда переходная характеристика цепи
(1.2)
Из выражения (1.1)видим, что h1(t-t0)=y1(t), если Х=1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения.
Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции х=х(t), равной нулю при t <t0 и непрерывной при всех t, за исключением точки t=t0. Эту функцию можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков. Тогда, в соответствии с определением переходной характеристики (1.2), реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи. Следовательно, реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков, равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики:
(1.3)
Точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи в виде (1.3), возрастает с уменьшением шага разбиения по времени ∆τ. При ∆τ →0 суммирование заменяется интегрированием:
(1.4)
Используя это выражение, которое известно под названием интеграл Дюамеля, можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие х=х(t) в любой момент времени t после коммутации
1.2.Законы коммутации
Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными.
Переходные процессы, связанные с изменением топологии цепи или различными коммутациями пассивных элементов, присущи в основном устройствам производства, передачи и преобразования электрической энергии.
При анализе переходных процессов в цепи, как правило, можно пренебречь длительностью процесса коммутации, т.е. считать, что коммутация осуществляется практически мгновенно. Начало отсчета времени переходного процесса обычно совмещают с моментом коммутации, причем через t=0_ обозначают, момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через t=0+, или t=0, момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (начальный момент времени после коммутации).
Переход реальной электрической цепи от одного установившегося соединения к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся значению соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрических и магнитных полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что, учитывая выражение
,(1.5)
возможно только, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т. е. отдаваемые ими токи и напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем, что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени.
Запасенная энергия цепи, содержащей реактивные элементы, определяется суммарным зарядом всех конденсаторов и потокосцеплением всех индуктивных катушек. Суммарные потокосцепление и заряд цепи также являются непрерывными функциями времени. В частности после коммутации они равны суммарному потокосцеплению и суммарному заряду цепи в момент коммутации.
(1.6)
В реальных цепях в момент коммутации возможны коммутационные потери энергии, например потери энергии за счет искры или электрической дуги между контактами переключателей, поэтому суммарная энергия цепи после коммутации может быть несколько меньше суммарной энергии цепи до коммутации.
Если коммутация идеализированной электрической цепи не затрагивает ветвей, содержащих реактивные элементы, т.е. в процессе коммутации не производиться подключения или отключения ветвей, содержащих емкости и индуктивности, и не происходит скачкообразного изменения их параметров, то из принципа непрерывности суммарных потокосцепления и заряда цепи следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей. Вывод о непрерывности токов индуктивностей и напряжений емкостей формулируется в виде законов коммутации.
Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:
(1.7)
а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.
Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:
(1.8)
а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.
Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей, напряжений индуктивностей и токов или напряжений сопротивлений, которые могут изменяться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.
1.3 Основы классического метода анализа
переходных процессов
Переходные процессы во многих устройствах телекоммуникации являются естественным состоянием цепи, например, в системах автоматического регулирования. В то же время в ряде случаев переходные процессы могут приводить к таким нежелательным явлениям, как возникновение очень больших токов или напряжений. Все это определяет важность рассмотрения методов анализа переходных процессов в электрических цепях.
Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти общее решение основной системы уравнений электрического равновесия цепи или системы уравнений электрического равновесия.
Основные этапы применения классического метода анализа переходных процессов.
1. Анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t=0_).
2.Определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени t=0+. Нtзависимые начальные условия находят с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи.
3.Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации (при t≥0). Дифференциальное уравнение цепи получают из системы уравнений электрического равновесия цепи, составленной любым методом, путем исключения всех неизвестных величин, кроме одной, представляющей собой ток или напряжение какой-либо ветви.
4.Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при t→∞). В результате анализа установившегося процесса в цепи после коммутации находят принужденную составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи).
5.Определение свободной составляющей реакции цепи. На этом этапе составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению цепи после коммутации).
6.Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденных составляющих реакции цепи.
7.Определение постоянных интегрирования. Постоянные интегрирования находят по зависимым начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их ν – 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных условий используют независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации.
8.Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям. Подставляя постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, т.е. искомый ток или напряжение одной из ветвей при t > 0.
1.4 Свободные и принужденные составляющие токов и напряжений
переходных колебаний
Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных по времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения при f(t)=0.
Общее решение однородного дифференциального уравнения характеризует свободные процессы в цепи, т.е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии. Таким образом, характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации. Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующим установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем, что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают.
Частное решение уравнения определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии. Принужденная составляющая тока или напряжения физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС.
Рассмотрим это на примере процесса в RL-цепи первого порядка.
В цепях первого порядка переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями первого порядка:
|
), (1.9) |
|
( |
|
0 |
|
1 |
|
t |
|
f |
|
а |
|
dt |
|
dx |
|
a |
|
= |
|
+ |
|
. |
Пусть при t=0 RL-цепь подключается к источнику постоянного напряжения U(рис 1.2)
Рис. 1.2
Из рисунка 1.2 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому
iL(0_) = 0, (1.10)
т.е. цепь имеет нулевые начальные условия.
После замыкания ключа (коммутации) в цепи имеет место переходной процесс. В качестве переменной дифференциального уравнения выберем ток в цепи, который совпадает с током в индуктивности iL, и составим дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:
(1.11)
Решение уравнения (1.11) ищем по формуле
iL= iпр+iсв, (1.12)
где iпр определяем в режиме, установившемся после коммутации цепи (рис. 1.3)
Рис. 1.3
iпр=U/R,
а iсв определяем как общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
. (1.13)
В (1.13) А – постоянная интегрирования, которая определяется с использованием первого закона коммутации (1.7) и начального условия цепи (1.10):
iL(0+) = iпр+A=iL(0-) = 0, откуда
A =- iпр = -U/R;
р – корень характеристического уравнения:
R+pL = 0. (1.14)
Решая уравнение (1.14), получим:
Следовательно, решение уравнения (1.11) запишется так:
В нем слагаемое есть частное решение неоднородного уравнения (1.11), а слагаемое - общее решение однородного уравнения
Частное решение неоднородного дифференциальногоуравнения называется принужденной составляющей переходного колебания, а полное решение однородного уравнения – свободной составляющей.
Принужденная составляющая тока или напряжения физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Так, если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты ω, то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме представляет собой соответственно синусоидальный ток или синусоидальное напряжение частоты ω.
Во всех линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону еpt.Так, в рассмотренном примере
.
С увеличением времени t множитель быстро уменьшается. Название «свободная» составляющая объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, «свободного» от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).
1.5 Постоянная времени цепи и ее физический смысл
Закон изменения множителя зависит от величины . Эта величина имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи. Обозначается постоянная времени греческой буквой t.
Через 5t после коммутации любой ток или напряжение цепи достигает 99,3% от своего предельного значения (при t ®¥). В неразветвленной RL- цепи (рис.1.2):
(1.15)
Таким образом, имеем решение для iL(t)при 0+, т.е. при всех t переходного процесса:
. (1.16)
Определяем напряжение на резисторе R и индуктивности L в переходном режиме:
(1.17)
(1.18)
По формулам (1.17), (1.18) построим графики изменения напряжений от времени t.
|
4 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
u |
|
R |
|
,u |
|
L |
|
|
|
u |
|
R |
|
|
|
u |
|
L |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t/t |
Рис. 1.4
Из рис. 1.4 видно, что при любом значении t сумма напряжений uR и uL составляет величину входного напряжения U, что подтверждает второй закон Кирхгофа.
Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t=0+ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t® , как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).
Постоянная времени τ – это время, в течение которого свободная составляющая iсв изменяется ровно в "e” раз. Покажем это. Для этого сравним два значения iсв при произвольном времени t, взятых через время τ:
Таким образом, величина τ определяет скорость протекания переходного процесса в цепи, т.к. через (4 5)τ он обычно практически заканчивается.
2.Расчет прохождения сигнала через линейные электрические цепи
Параметры сигнала:
длительность импульса: 0,4 мс; период сигнала: 1,5 мс; середина импульса: 0,014 мс; максимальное и минимальное значение сигнала: 0,5 и 0 В.
2.1Разложение импульсных колебаний на гармонические составляющие
Результат воздействия на электрическую цепь синусоидального напряжения и тока можно найти при помощи символического метода решения уравнений Кирхгофа. Форма синусоидального напряжения (или тока) на выходе любой линейной электрической цепи остается синусоидальной, а амплитуда напряжений и его начальная фаза изменяются. Поэтому при рассмотрении воздействия на электрические цепи несинусоидальных напряжений (токов) во многих случаях целесообразно представить их в виде некоторой суммы синусоидальных колебаний.
Любое периодическое несинусоидальное колебание можно разложить в бесконечный тригонометрический ряд, состоящий из постоянной составляющей и синусоидальных составляющих различной частоты, амплитуды и фазы. Совокупность этих синусоидальных или гармонических составляющих называется частотным спектром.
Тригонометрический ряд, получающийся при разложении периодических несинусоидальных колебаний, называется рядом Фурье [7, с.7]:
Коэффициенты ряда Фурье ( А0, ak, bk и φk ) рассчитываем по формулам [7, c.7]:
Где
f(t) – несинусоидальная периодическая функция;
Т – период колебаний, т.е. наименьшее время, по истечении которого колебания полностью повторяются, 1/с;
ω1 – скорость изменения фазы (угловая частота) первой или основной гармоники, рад/с;
k – порядковый номер гармоники.
В радиотехнике для определения отклика цепи на негармоническое воздействие f(t) используют косинусную форму ряда Фурье [1, с.276]:
которая связана с рядом Фурье (2.1) следующими соотношениями [1, с.276]:
где Amk – это амплитуда «k»-ой гармоники, функция четная относительно частоты;
φk – начальная фаза «k»-ой гармоники, функция нечетная относительно частоты и поэтому может принимать как положительные значения, так и отрицательные;
А0 – постоянная составляющая воздействия f(t).
Амплитуды всех гармоник разложения (Amk) вместе с постоянной составляющей разложения (А0) образуют амплитудно-частотный спектр (АЧС) воздействия f(t).
Начальные фазы всех гармоник разложения (ψk) образуют фазо-частотный спектр (ФЧС) воздействия f(t).
Заданный импульс напряжения выражается в пределах одного периода функцией
0,5,
f(t)=
0,
т.е. мы имеем импульсное напряжение прямоугольной формы с периодом повторения Т и длительностью импульса τИ со смещением середины импульса относительно оси ординат.
Интегрирование проводим в пределах от 0 до , введя перед интегралом множитель 2.
Постоянная составляющая ряда на основании формулы (2.2) будет равна
Коэффициенты аk, bk (формулы (2.3) и (2.4)) :
Рассчитываем коэффициенты (амплитуды гармоник) при косинусных составляющих ряда Фурье, а также начальные фазы гармоник:
Тогда
Учитывая то, что [2, c.98],
Подставляя численные значения в формулы, получим амплитуды и начальные фазы гармонических составляющих ряда Фурье.
Таким образом рассчитывают периодические колебания функций четных относительно частоты. При смещении момента отсчета времени на любую величину, т.е. при запаздывании или опережении процесса на время t0, учитываем смещение середины импульса относительно оси ординат. Смещение периодической функции не изменяет значений амплитуд гармоник. Начальные фазы гармоник изменяются на угол [2,с.276],
где t0 – время начала переднего фронта импульса.
t0= - tсмещения= - 0,2+0,014= - 0,186,
т.е. начальные фазы гармонических составляющих сигнала воздействия рассчитываются по формуле:
.
Рассчитаем постоянную составляющую
,
и амплитуды и начальные фазы гармонических составляющих:
для первой гармоники (k=1)
для второй гармоники (k =2)
для третьей гармоники (k =3)
для четвертой гармоники (k =4)
для пятой гармоники (k =5)
для шестой гармоники (k =6)
для седьмой гармоники (k =7)
для восьмой гармоники (k =8)
для девятой гармоники (k =9)
для десятой гармоники (k =10)
Амплитудный и фазовый спектр сигнала воздействия изображен на рис. 2.1
2.2 Расчет спектра выходного сигнала
линейной электрической цепи
В основе расчета ЛЭЦ, находящихся под воздействием периодических негармонических сигналов, лежит принцип суперпозиции (или наложения)
Согласно этому принципу, разложенный в ряд Фурье сигнал f(t) воздействует на ЛЭЦ по частям и поочередно:
1) постоянная составляющая А0 сигнала f(t),
2) первая гармоника Am1cos(kω1t+φ1) разложения в ряд Фурье сигнала f(t),
вторая гармоника Am2cos(kω1t+φ1) разложения в ряд Фурье сигнала f(t)и т.д. до последней гармоники.
Расчет отклика цепи на воздействие постоянной составляющей А0 сводится к расчету резистивной цепи, поскольку имеющиеся в ней емкости заменяем на разрыв, а индуктивности на КЗ.
Расчет отклика цепи на каждую из гармоник осуществляем с помощью комплексного коэффициента передача цепи. Суммируя все полученные отклики, получаем отклик ЛЭЦ на заданное негармоническое периодическое воздействие.
2.2.1 Расчет прохождения сигнала
через ЛЭЦ первого порядка
Дана ЛЭЦ первого порядка (рис 2.2 ) с источником u(t).
Рис.2.2.
R=130 Ом, C= 0,5 мкФ
На цепь подано несинусоидальное периодическое напряжение
u(t)= 0,133+0,237cos(1*4.189t-0.0589) + 0,158 cos(2*4.189t-0,1178-)+
+ 0,062 cos(3*4.189t-0,1756) - 0,017(4*4.189t-2,9071)-
- 0,055(5*4.189t-2,8482) - 0,05 cos(6*4.189t-2,7903)-
- 0.018 cos(7*4.189t-2,7314) + 0,016 cos(8*4.189t-0,4688)+
+0,034cos(9*4.189t-0,5274)+0,028 cos(10*4.189t-0,589).
Определяем отклик цепи (рис.2.2) на воздействие постоянного напряжения.
После замены емкости на разрыв, получаем цепь(рис.2.2),
Рис.2.3.
напряжение на выходе которой равно напряжению на входе, т.е.
А0=0, 133 В
Комплексный коэффициент передача цепи, представляющий собой делитель напряжения, находится из формулы [7, с.29]:
Тогда
Расчет отклика цепи на гармонические составляющие сигнала воздействия проводим по формулам:
Amn= Amk*Wk ;
c помощью программного пакета Mathcad 11. Результаты вычислений сводим в таблицу 1.
Таблица 1. Спектральные коэффициенты разложения выходного сигнала цепи 1.
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Амплитуда,В |
0,133 |
0,236 |
0,136 |
0,048 |
0,011 |
0,033 |
0,026 |
0,008 |
0,005 |
0,009 |
0,007 |
|
Фаза, рад/град |
|
-0,325 |
-0,616 |
-0,861 |
2,079 |
1,911 |
1,769 |
1,644 |
-1,609 |
-1,711 |
-1,805 |
|
|
-18º30' |
-35º20' |
-49º22' |
119º6' |
101º20' |
94º15' |
156º20' |
-92º12 |
-98º |
-103º |
Амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала изображены на рис. 2.4.
2.2.2. Расчет прохождения сигнала через
идеальный источник напряжения, управляемый напряжением
Для второй цепи имеем идеальный источник напряжения, управляемый напряжением. Коэффициент усиления является единственной и полной характеристикой источника [2, с.21].
По условию, коэффициент усиления равен 2,0. Амплитуды выходного напряжения получаем из Аmn гармонических составляющих входного сигнала:
Авых=Авх*2
Таблица 2. Спектральные коэффициенты разложения выходного сигнала цепи 2.
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Амплитуда,В |
0,266 |
0,474 |
0,316 |
0,124 |
0,034 |
0,11 |
0,1 |
0,036 |
0,032 |
0,068 |
0,056 |
|
Фаза рад/град |
|
-0,059 |
-0,119 |
-0,179 |
2,907 |
2,849 |
2,79 |
2,732 |
-0,47 |
-0,535 |
-0,595 |
|
|
3º20' |
6º45' |
10º10' |
166º30' |
163º20' |
159º45' |
156º20' |
27º |
30º20' |
33º45' |
2.2.3 Расчет прохождения сигнала
через ЛЭЦ второго порядка
Рис.2.5
R1=1 кОм, R2=2 кОм, R3=3 кОм, R4= 4 кОм, C1=0,1 мкФ, C2=0,2 мкФ.
Расчет отклика цепи на воздействие постоянной составляющей А0 сводится к расчету резистивной цепи, поскольку имеющиеся в ней емкости заменяем на разрывы (рис. 2.6).
Рис. 2.6
1) Определим входное сопротивление цепи:
Rвх=R1+R2=1+2=3 кОм.
2) Определим ток постоянной составляющей в цепи:
3) Определим напряжение постоянной составляющей на выходе цепи:
Таким образом постоянная составляющая выходного напряжения А0= 0,088 В.
Для расчета комплексного коэффициента передачи данной цепи заменим ее на эквивалентную (рис.2.7):
Рис.2.7
и рассмотрим как последовательное соединение двух четырехполюсников (Z1 – Z2 и Z3 – Z4).
ТогдаUвых= Uвх*W1*W2, φвых=φвх+φ1+φ2
Из формулы (2.7) находим комплексный коэффициент передачи цепи первого четырехполюсника (Z1 – Z2):
т.к. , то
Находим модуль и аргумент коэффициента передачи первого четырехполюсника [4, c.124]
Находим комплексный коэффициент передачи цепи второго двухполюсника (Z3 – Z4):
Находим модуль и аргумент коэффициента передачи второго четырехполюсника
Имеем
На основании полученных формул и исходных данных рассчитываем коэффициенты разложения выходного сигнала.
Таблица 3. Спектральные коэффициенты разложения выходного сигнала цепи 3.
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
W1 |
0,667 |
0,696 |
0,759 |
0,821 |
0,868 |
0,901 |
0,924 |
0,941 |
0,953 |
0,961 |
0,968 |
|
W2 |
1 |
0,588 |
0,576 |
0,573 |
0,572 |
0,572 |
0,572 |
0,572 |
0,572 |
0,572 |
0,572 |
|
W1*W2 |
0,667 |
0,409 |
0,437 |
0,471 |
0,497 |
0,515 |
0,529 |
0,538 |
0,545 |
0,55 |
0,553 |
|
Амплитуда,B |
0,088 |
0,096 |
0,069 |
0,029 |
0,008 |
0,028 |
0,026 |
0,009 |
0,009 |
0,018 |
0,015 |
|
φ1 |
|
0,124 |
0,188 |
0,201 |
0,192 |
0,176 |
0,159 |
0,144 |
0,131 |
0,119 |
0,11 |
|
φ2 |
|
-0,121 |
-0,063 |
-0,042 |
-0,032 |
-0,026 |
-0,021 |
-0,018 |
-0,016 |
-0,014 |
-0,013 |
|
φ1+φ2 |
|
0,003 |
0,125 |
0,159 |
0,16 |
0,15 |
0,138 |
0,126 |
0,115 |
0,105 |
0,097 |
|
Фаза, рад |
|
0,062 |
0,243 |
0,336 |
1,903 |
1,952 |
1,999 |
2,046 |
0,587 |
0,636 |
0,787 |
Амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала изображены на рис. 2.8.