Скачать:  

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

МЕТОД ПОДБОРА ПАРАМЕТРА

Цель: научиться решать задачи нелинейного программирования методом подбора параметра.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Система нелинейных уравнений в общем виде записывается так

                                                     f₁(x₁,x₂,...x_n) = 0

f₂(x₁,x₂,...x_n) = 0

..............................

f_n(x₁,x₂,...x_n) = 0

где f_i - нелинейные алгебраические функции. Для решения таких систем обычно используются итерационные методы. Ниже будет рассмотрен два метод подбора параметра. Успех применения метода во многом определяется выбором начальных приближений. Они должны быть достаточно близки к истинному значению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись. Следует заметить, что в общем случае формализованных процедур выбора начальных приближений нет. Только в случае системы второго порядка можно предложить такую процедуру, сравнительно легко реализующуюся на EXCEL.

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка

f₁(x₁,x₂) = 0

f₂(x₁,x₂) = 0

Зададим несколько значений x₁ в диапазоне от х_нач до х_кон с шагом dx. Подставим сначала в f₁(x₁,x₂) = 0 значение х_нач. Тогда это уравнение становится одномерным, зависящим только от х₂, и его можно решить подпрограммой EXCEL Подбор параметра . То же самое можно проделать и для всех остальных значений х₁. В результате мы будем иметь набор значений х₁ и х₂, для которых f₁(x₁,x₂) = 0. Далее, для того же самого набора значений х₁, используя подпрограмму Подбор параметра, найдем значения х₂, для которых f₂(x₁,x₂) = 0.  Если теперь построить с помощью EXCEL графики изменения х₂ в зависимости от х₁ для двух этих случаев, то на пересечении этих графиков можно приближенно определить значения начальных приближений по х₁ и х₂. Если графики не пересекаются, следует задать новый диапазон изменения х₁ и повторить процедуру сначала.

Задача 1.

Имеется Пи-регулятор. Математическая модель его выражена в виде системы нелинейных уравнений:

Необходимо определить оптимальные параметры настроек регулятора для пропорциональной Х и интегральной У частей, при которых бы работа системы регулятора была максимально устойчивой.

Решение:

Подберем начальные приближения. Выберем х_нач  = 0, х_кон = 1, dx = 0,2. Откроем новый рабочий лист EXCEL  и занесем эти значения х₁ в блок А2:A7. Выделим блок В2:В7 под  значения х₂ первой серии, для которой f₁(x₁,x₂) = 0, и блок С2:С7 - под  значения х₂ второй серии, для которой f₂(x₁,x₂) = 0. Блок D2:D7 отведем для функции f₁(x₁,x₂), а блок Е2:Е7 - для функции f₂(x₁,x₂) . Сделаем текущей ячейку D2. В нее запишем формулу =SIN(A2+B2)-1,2*A2. В ячейку Е2 запишем формулу =A2^3+C2^2-2. Теперь выделим блок D2:E2 и скопируем эти формулы в блок ячеек D3:E7. Разумеется, адреса ячеек столбцов А и С в них будут автоматически изменены.

Перейдем к заполнению блока В2:В7. Снова сделаем текущей ячейку D2. Дадим команду меню Сервис - Подбор параметра. В открывшемся диалоге  в поле Установить в ячейке должен быть указан адрес ячейки D2 в абсолютных адресах. В поле Значение следует занести ноль, а в поле Изменяя ячейку - занести адрес ячейки В2 ( можно в относительных адресах). Щелкнем по кнопке ОК. Появится новый диалог Состояние подбора параметра. Если решение найдено, то, щелкнув по кнопке ОК, получим в ячейке B2 нужное нам числовое значение. Далее эту процедуру надо повторить для всех ячеек блока D2:D7. В результате будет заполнен блок  В2:В7.

Аналогичным образом следует заполнить блок С2:С7, используя блок Е2:Е7. Если блоки в столбцах В и С заполнены, можно построить диаграмму. Для этого необходимо выделить блок А3:Е7. Затем щелкнуть по кнопке Мастер Диаграмм на панели Стандартная.

Рисунок 1 – Решение системы с подбором параметра

Анализируя построенную диаграмму, можно сделать вывод о том, что в качестве начальных приближений можно выбрать  х = 0,8  и  у = -0,85.

Аналогично решаем остальные две задачи.

Задача 2.

Водогрейный котел ДКВР-16 оснащен сигнализатором уровня, установленный на барабане котла. Закон, по которому происходит сигнализация  уровня воды выглядит следующим образом:

Определить минимальный  уровень (координаты  уровня) воды  в барабане котла, при котором сработает данный сигнализатор.

Рисунок 2 – Решение системы с подбором параметра

Анализируя построенную диаграмму, можно сделать вывод о том, что в качестве начальных приближений можно выбрать  х = 0,7  и  у = 0,3.

Задача 3.

Навигационная система  ГЛОНАСС имеет военный спутник-шпион. Одним из параметров нахождения объекта на Земле служит закон распределения:

Определить координаты объекта на Земле, если известно что спутник засек его при таких исходных данных.

Рисунок 3 – Решение системы с подбором параметра

Анализируя построенную диаграмму, можно сделать вывод о том, что в качестве начальных приближений можно выбрать  х = 0,65  и  у = 0,0001.