Скачать:  

 

 

13 Основная и эквивалентная системы методом сил.

Метод сил

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил.Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил».

 

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1.Определить степень статической неопределимости.

2.Выбрать основную систему.

3.Сформировать эквивалентную систему.

4.Записать систему канонических уравнений.

5.Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.

6.Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.

7.Построить суммарную единичную эпюру.

8.Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

9.Решить систему канонических уравнений, т.е. определить реакции лишних связей.

10.Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).

11.Выполнить статическую и кинематическую проверки.

Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.

Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

 

Выбор основной системы

Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной систе­мы. После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо ввести вместо связей неизвестные силовые факторы, которые принято называть лишними неизвестными. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать X_i, где i — номер неизвестного. Наибольшее значение iравно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы X_i, — являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.

Основную систему с приложенными к ней лишними неизвестными Х₁, Х₂ ,...X_n и внешней нагрузкойР называют эквивалентной системойпри условии, что её действительные перемещения согласуются с наложенными на исходную систему связями. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис.10,а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис.10,б,в), однако их должно объединять следующее условие-основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою гео­метрию без деформаций элементов).

Рис.10

 

Выбор основной системы (ОС) является непростым. Неудачный выбор ОС может привести к значительной трудоемкости решения, а иногда и к грубой ошибке. Нельзя руководствоваться только одним правилом образования основной системы, а именно, что число отбрасываемых связей должно быть равным степени статической неопределимости. Надо обязательно следить еще и за тем, какие связи отбрасываются. Некоторые связи отбрасывать недопустимо. При выборе основной системы надо следить кроме всего прочего и за геометрической неизменяемостью всей системы и отдельных ее частей.

Например, для рамы, показанной на рис. 11, можно предложить основные системы, а), б),..., которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 12 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы (рис.12,а, б), с одной стороны, и статической определимости во всех узлах,— с другой (рис.12, в).

 

Рис.11

 

Рис.12

Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.

1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.13, б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.13, а).

2. Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n= 3 (рис.14, а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.14, б).

3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.14, в). В частных случаях (рис.14, г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.14, д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.14,е).

Рис. 13

 

Рис. 14

 

Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.

Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.

Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этой лекции. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

14. Канонические уравнения метода сил, их физические свойства и особенности

Канонические уравнения метода сил

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

(14.2)

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. - это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; - перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через . С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

(14.3)

где - единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакциейт.е. реакцией, совпадающей по направлению с X_k, но равной единице.

Подставляя (14.3) в (14.2), получим:

(14.4)

Физический смысл уравнения (14.4): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (14.4), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

(14.5)

Здесь – единичные перемещения; ,– моменты от единичных сил, приложенных в направлении неизвестных ,;– изгибная жесткость. Обобщенные перемещения называются грузовыми перемещениями; – изгибающий момент, вызываемый i-й единичной силой; – изгибающий момент, который вызван системой внешних сил.

Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы (), и побочные (,). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных.

Вид уравнения (14.5), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

 

 

 

 

 

 

15. Определение коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений. Проверка правильности их вычислений.

Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

При вычислении коэффициентов и свободных членов канони­ческих уравнений метода сил, кроме непосредственного интегриро­вания и применяют различные упрощенные приемы вычисле­ния интегралов. Особенно обстоятельно они разработаны для рам с прямолинейными стержнями постоянного сечения. Жесткость EI= const при этом выносится за знак интеграла, а под интегралом остается произведение двух функций: M_i и M_k, одна из которых, как правило, или обе являются линейными функциями. Операция интегрирования здесь часто называется перемножением эпюр и ее символически изображают следующим образом:

, (14.6)

здесь знак означает умножение в смысле формулы Мора.

Применение готовых формул показано в таблице14.1. Сами эти формулы без труда определяются элементарными методами. Эта таблица является весьма универсальной, так как она пригодна для определения перемещений по двум любым прямолинейным эпю­рам, а также криволинейной с прямолинейной. Если любая из фи­гур, приведенных в табл.14.1, перемножается с треугольником, то это перемножение сводится к трапеции, одна из ординат которых равна 0. При перемножении на прямоугольник нужно учесть, что М_a=М_b.

Довольно удобным способом перемножения эпюр является способ Верещагина. Этот способ применим в случае когда из двух перемножаемых эпюр одна как минимум является прямоли­нейной. Если одна из эпюр является криволинейной вычисляется площадь криволинейнойэпюры, которая умножается на ордина­ту под ее центром тяжести, взятую в прямолинейной эпюре (рис.16).

Предположим M₁=f(x); M₂=ax+b, тогда

=,

но величина представляет собой площадь криволи­нейной эпюры, а величина -статический момент площади этой эпюры относительно левого конца стержня. Следо­вательно,

.

Известно, что величина представляет собой ординату центра тяжести криволинейной эпюры, а -значение M2 при .

Вслучае двух криволинейных эпюр способ Верещагина непри­меним. Надо пользоваться интегралом Мора. Способ Верещагина применим также в тех случаях, когда одна из эпюр не криволиней­ная, а ломаная.

Втаблице14.2 приведены формулы для определения площади , положения центра тяжести z_C и ординаты y_C в центре тяжести для некоторых довольно распространенных плоских фигур.

В случае, когда имеются эпюры общего вида (например, обе эпюры криволинейные, либо трапеции, рис.16), разбиение уже на два равных интервала дает согласно формуле Симпсона точное выражение интеграла:

,

где индексы А и Сотносятся к сечениям расположенным на концевых сечениях интервала длиной l, а индекс В к серединному сечению того же интервала.

В тех случаях, когда функции M₁ и M₂в рассматриваемом интервале длиной l, являются линейными и известны их значения в концевых сечениях интервала, то формулу перемножения M₁ и M₂ можно преобразовать в следующем виде:

. (14.7)

Итак, после составления и решения канонической системы уравнений метода сил (14.5) мы получаем значения X₁,X₂,X₃,...,X_n, т.е. значения усилий в лишних связях. Затем строим для основной системы эпюры изгибающих моментов от каждого из найденных усилий. Для этого могут быть использованы построенные ранее единичные эпюры, все ординаты которых необходимо теперь умно­жить на найденные значения соответствующих неизвестных.

Сложив по характерным сечениям (на протяжении всей рас­считываемой конструкции) ординаты эпюр от действия всех силX_i с ординатами грузовой эпюры, получим окончательную (суммар­ную) эпюру изгибающих моментов в заданной статически неопре­делимой системе.

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру - эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :

Таким образом, результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр - это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

(14.8)

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.

Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

(14.9)

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (14.5) состоит в выполнении условия:

(i=1, 2, …, n). (14.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Построение эпюр М, Q, N методом сил и их проверки.

17. Порядок расчёта статически неопределимых систем методом сил при действии внешних нагрузок.

Статически неопределимойназывается такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.
Оговоримся, что здесь и далее понятие "расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.
Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.
Основными методами расчета статически неопределимых систем являются:

1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитическим методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:
1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

 

 

 

 

18. Расчёт статически неопределимых систем методом сил на изменения температуры

19. Особенности расчёта статически неопределимых систем методом сил на перемещении опор.